1 教学要求与考查要求

解析几何是高中数学的主干内容，其核心是用代数的方法研究解决几何问题，体现数形结合的思想方法，此类试题主要考查运算求解能力和推理思维能力．2012年浙江省数学高考文、理科试卷的解析几何题都是3个，其中理科共计24分,文科共计23分．

2 命题特点和知识类型

2012年浙江省数学高考解析几何题有3个明显的特点：

(1)选择题以考查基本知识和基本技能为主，覆盖椭圆、双曲线、抛物线等基本内容.文科第8题是椭圆与双曲线有共同焦点的问题，理科第8题是直线与双曲线渐近线交点问题，要求学生掌握圆锥曲线的基本几何性质．

(2)填空题考查点、直线与圆锥曲线位置关系的应用，文科第17题、理科第16题都是直线与抛物线的最小距离问题，体现了要求学生掌握直线与圆锥曲线的基本位置关系的一些简单应用．

(3)解答题文科第22题、理科第21题是直线与圆锥曲线位置关系中的面积最值问题，题目清晰简洁，学生容易理解题意，解题方法常规.然而设置求最值的目标函数却很复杂，不能用一般方法求，必须转化为高次函数，利用导数求出最值.要求学生掌握利用导数解决最值问题的一般方法，体现了导数在解决最值问题中的重要性．

3 解析几何题的主要内容

图1

例1 如图1所示，椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线l与椭圆C交于点A，B，且线段AB被直线OP平分.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求△ABP面积取得最大时直线l的方程.

解 (1)椭圆方程C:+=1.

(2)第1阶段：

设直线l:y=kx+m,代入椭圆方程C得

即 (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

设线段AB的中点坐标为(x0,y0),则

由线段AB被直线OP:y=x平分，得

从而

即直线l:y=-x+m,代入式(1)，得

由Δ>0,得m取值范围为(-2，0)∪(0，2).

由题意 |AB|= |x1-x2|=

=

，

设点P到直线l的距离为d,则d=,故

第2阶段：

因为m∈(-2，0)∪(0,2),所以

设 f(m) =(m-4)2(12-m2)=

-m4+8m3-4m2-96m+192,

求导得

f ′(m)= -4m3+24m2-8m-96=

-4(m-4)(m2-2m-6)=

-4(m-4)(m-1-)(m-1+),

故f(m)在(-2,1-)上单调递增，在(1-，2)上单调递减.即当m=1-时,f(m)有最大值，即S△ABP有最大值.这时直线l的方程为

图2

例2 如图2所示，在直角坐标系xOy中，点到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为，点M(t,1)是C上的定点，点A,B是C上的2个动点，且线段AB被直线OM平分.

(1)求p,t的值；

(2)求△ABP面积的最大值.

解 (1)易得p=,t=1.即抛物线方程C:y2=x,点M的坐标为(1,1).

(2)第1阶段：

设直线l:y=kx+m,代入抛物线方程C:y2=x,得

即

设线段AB的中点坐标为(x0,y0),则

由线段AB被直线OM：y=x平分，得

从而

即直线l的方程为kx-y+=0,代入抛物线方程,得

由Δ>0,得k>.

由题意 |AB|= |y1-y2|=

=

,

设点到直线l的距离为d,则

从而

第2阶段：

因为k>,所以

设有x∈(0,1),从而

S△ABP= (x+1)=

.

设f(x) =(x+1)2(1-x)=-x3-x2+x+1,求导得

故f(x)在上单调递增，在上单调递减，即当x=时,f(x)有最大值，即k=时，S△ABP有最大值.这时直线l的方程为

分析 (1)例1的第(2)小题和例2的第(2)小题，都是在直线与圆锥曲线位置关系中求面积最值问题，解决方法都属于圆锥曲线的通性通法，题意容易理解，便于入手．

(2)在第1阶段的解答中，2个问题都出现较复杂的目标函数:

(3)2012年浙江省数学高考文、理卷的解析几何题对利用导数求最值中出现较复杂函数提出了一定的要求，这对提升学生用导数解决应用问题的能力有良好的导向作用，需要教师在教学中注重提升学生运用知识解决实际问题的能力．

文章来源：《理科爱好者》 网址: http://www.lkahzzzs.cn/qikandaodu/2020/1026/499.html